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Measures to Remove Barriers and Policy Implications. G.Y. Obeng1, I. Braimah2, F.O. Akuffo3 1Technology Consultancy Centre 2Department of Planning 3Mechanical Engineering Department Kwame Nkrumah University [...] been a marked increase in CO2, methane and nitrous oxide in the atmosphere; and this has accelerated even more in the last few decades. 35 By far the largest contribution for CO2 comes from the use of fossil [...] Microsoft Word - SESAM supplimentary 2 - final _Repaired_ _Repaired_ SESAM/ARTES/DAAD AFRICAN ALUMNI UNIVERSITY OF FLENSBURG, GERMANY Sustainable Energy Systems and Management SESAM African Alumni Workshop
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B,E, F} {C,D,E, I} {A,F,H,D} {I,H,G,D} Aufgabe 2 Diese Aufgabe bezieht sich nur auf das 9-Punkte Modell (siehe unten). a) Man gebe folgende Kreise an: i) Den Kreis um C durch F, also k1 := k(C,F ). ii) [...] die drei Höhenlinien in einem Punkt (3.) also gilt hA = D ⊕ E, hB = E ⊕ F , und hC = F ⊕D (4.) seien D ∈ g ∩ h, E ∈ h ∩ i, und F ∈ g ∩ i die jeweiligen Schnittpunkte (5.) sei h die Parallele durch A zur [...] ] d) Man gebe alle Tangenten ti am Kreis k := k(F,H) an. e) Man zeige: Berührt ein Kreis zwei Geraden g, h, dann gilt g ‖ h oder g ⊥ h. •G •H •I •D •E •F •A •B •C Sei nun (P,G,≡,⊥) eine euklidische Ebene
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folgenden Schnitte und beweise sie anschließend. a) sD ∩ Tr b) Dr ∩ sT c) sD ∩ sT d) Ra ∩ Tr Aufgabe 2 a) Man formalisiere die folgende Aussage und beweise sie anschließend: Jede Geradenspiegelung σ ist [...] Parallelogramm und w eine Winkelhalbierende von AB und AD. Sei E der Schnittpunkt von w mit CD und F der Schnittpunkt der Parallelen zu BC durch E mit AB. Man zeige: Dann ist AFED eine Raute. Link: https://www [...] Parallele zu AC durch B, c die Parallele zu BD durch C und d die Parallele zu AC durch D. Sei E ∈ a ∩ b, F ∈ b ∩ c, G ∈ c ∩ d und H ∈ d ∩ a. Man zeige: Dann ist EFGH eine Raute. Link: https://www.geogebra.o
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gibt ein Rechteck, welches kein Quadrat ist. d) Es gibt 12 Trapeze ABXY mit X,Y ∈ {A,B,C,D,E, F,G,H, I}. Aufgabe 2 Sei ABCD ein Trapez, sei M der Mittelpunkt von AD und L auf der Verbindungsgeraden von B,C [...] nur) Wie beginnen mit einer Definition. Sei ABCD ein echtes Viereck. Sei E der Mittelpunkt von AB, F der Mittelpunkt von BC, G der Mit- telpunkt von CD und H der Mit- telpunkt von DA. Dann heißt das Viereck [...] ABCD ein überschla- gendes Viereck ist etc. b) Zeigen Sie: Das Seitenmittenviereck EFGH (wobei nicht E,F,G und H auf ei- ner Geraden liegen) zu einem echten Vier- eck ABCD ist ein Parallelogramm. c) Exper
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den Beweis kann man die reelle Funktion f definiert durch f : (0, 2)→ R, x 7→ f(x) := 1−x x·(x−2) verwenden. Aufgabe 5 Sei eine Menge S definiert durch S := {√ 2 n ∣∣∣∣ n ∈ N } . Man beweise oder widerlege: [...] injektiv ist. b) Sei f eine Funktion von der Menge der natürlichen Zahlen in die Menge der ganzen Zahlen, definiert durch f : N→ Z , n 7→ f(n) := (−1)n · ⌊n 2 ⌋ Man zeige, dass dann f eine Bijektion ist [...] Funktion h : A→W (g) g1 ◦ f : A→W (g) ist injektiv Europa-Universität Flensburg-FrSe 2023 Analysis I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Aufgabe 2 Man zeige mit Hilfe von Satz 0.2 die Gleichmächtigkeit
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und Geradenspiegelungen. Statt der Buchstaben P1, P2, . . . könnte man folgende Buchstaben für die Bezeichnungen der Punkte vorschlagen: A B C D E F G H I Aufgabe 1 Man überprüfe (zum Beispiel durch geeignete [...] Jede 5-elementige Teilmenge von {A,B,C,D,E, F,G,H, I} enthält mindestens eine Gera- de. b) Für jedes echte Dreieck gilt der Mittelparallelensatz (wählen Sie dazu 2 Dreiecke). c) Für jedes Parallelogramm gilt [...] Abbildung σ{A,E,I} spiegelt, dann sollte auch {G,H, I}σ{A,E,I} zu {B,E,H}σ{A,E,I} senkrecht sein). Aufgabe 2 Zwei Dreiecke ABC und A′B′C ′ heißen kongruent, wenn sie seitenweise kongruent sind, also wenn gilt:
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Aufgabe 1 Sei f : Z→ N mit z 7→ f(z) := { 2z + 1, z ≥ 0 −2z, z < 0 eine Funktion. Wie leicht zu zeigen ist, ist f eine bijektive Funktion und f−1 : N→ Z ihre Umkehrfunktion. a) Man bestimme f−1(3), f−1(4) und [...] und f−1(5). Wir definieren eine Verknüpfung ◦ auf N so, dass für alle a, b ∈ N gilt: a ◦ b := f(f−1(a) + f−1(b)). b) Man zeige, dass im allgemeinen a ◦ b 6= a+ b für a, b ∈ N gilt. c) Man zeige, dass das [...] Verknüpfungspaar (N, ◦) (G1), (G2), (G3) und (G4) erfüllt. d) Man bestimme die Lösungen der Gleichung x ◦ x ◦ 11 = 23 in (N, ◦). Aufgabe 2 Sei f eine Relation auf R definiert durch f := {(x, y) | x ∈ R, y = x
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weis) a) f1 : R2 → R2, (x, y) 7→ (3x− 2, 5y + 7) b) f : R \ {2} → R \ {5}, x 7→ 5x+1 x−2 c) Seien a, b ∈ R und g : R→ R, x 7→ ax+ b (Fallunterscheidung) d) Seien a, b, c ∈ R und h : R→ R, x 7→ ax2 + bx+ c [...] Funktionen f : A→ B und g : B → C so, dass f nicht surjektiv ist aber die Verkettung g ◦ f. b) Es gibt Funktionen f : A→ B und g : B → C so, dass f nicht injektiv ist aber die Verkettung g ◦ f. c) Seien f, g, [...] tion von R nach R). Dann gilt (g + h) ◦ f = (g ◦ f) + (h ◦ f) d) Seien f, g, h reelle Funktionen (also Funk- tion von R nach R). Dann gilt f ◦ (g + h) = (f ◦ g) + (f ◦ h) Aufgabe 4 Man zeige: Es gibt eine
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Vorlesung gezeigt, ist die Funktion f mit f : R → R, x 7→ x2 − 3x + 2 weder injektiv noch surjektiv. Man bestimme jeweils Teilmengen T1, T2 von R so, dass f∗ ⊆ f mit f∗ : T1 → T2 (i) injektiv, aber nicht surjektiv [...] 0 ≤ y ≤ 2} • B := {(x, y) ∈ R2 | 2 ≤ x ≤ 5 ∧ 0 ≤ y ≤ 2} • C := {(x, y) ∈ R2 | 2 ≤ y ≤ 3 ∧ y − 2 ≤ x ≤ 4− y} • D := {(x, y) ∈ R2 | 2 ≤ y ≤ 3 ∧ 4− y ≤ x ≤ 7− y} Bestimmen und skizzieren Sie A ∪B ∪ C ∪D und [...] • A = {(x, y) ∈ R2 | y = 2} • B = {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x ≤ 3 ∧ 3 ≤ y ≤ 4} • C = R× {2}. • D = [1, 3]× R • E = R× [3, 4] • F = {(x, y) ∈ R2 | x = 4} • G = [1, 3]× [3, 4] • H = {(x, y) ∈ R2 | 3 ≤ y ≤ 4} • I
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Europa-Universität Flensburg 2024 Geometrie und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 2 Das Durchlaufen von Linien oder Geraden ist ein Anordnungsphänomen, d.h. man „durch- läuft“ eine Gerade z.B. [...] 12 Uhr Europa-Universität Flensburg 2024 Geometrie und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Aufgabe 2 Man gebe für die beiden Fi- guren in (a) und (b) passende Inzidenzstrukturen (P,G) an, wobei die „Geraden“ [...] deren Äquivalenzklassen an (mit Beweis). b) Man gebe zwei verschiedene Kongruenz-Relationen ≡1 und ≡2 auf P ×P an (mit Beweis). **********************************************************************************
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