fileadmin/content/institute/mathematik/lorenzen/geometrie/serie-9-geometrie.pdf
zwei Geraden g, h, dann gilt g ‖ h oder g ⊥ h. •G •H •I •D •E •F •A •B •C Sei nun (P,G,≡,⊥) eine euklidische Ebene. Aufgabe 3 Sei k eine Kreis und seien g, h verschiedene Geraden durch den Mittelpunkt von [...] gilt: AE ≡ AD (2.) damit schneiden sich in jedem echten Dreieck die drei Höhenlinien in einem Punkt (3.) also gilt hA = D ⊕ E, hB = E ⊕ F , und hC = F ⊕D (4.) seien D ∈ g ∩ h, E ∈ h ∩ i, und F ∈ g ∩ i die
-
Dateityp
- application/pdf
-
Verlinkt bei
-
fileadmin/content/institute/mathematik/lorenzen/stochastik/serie-9-2023-stochastik.pdf
C̄) = P (A) · P (B) · P (C̄). P (Ā ∩ B̄ ∩ C) = P (Ā) · P (B̄) · P (C). P (Ā ∩B ∩ C̄) = P (Ā) · P (B) · P (C̄). P (A ∩ B̄ ∩ C̄) = P (A) · P (B̄) · P (C̄). P (Ā ∩ B̄ ∩ C̄) = P (Ā) · P (B̄) · P (C̄) [...] r in (Ω, P ) genau dann, wenn die folgenden 23 = 8 Gleichungen gelten: P (A ∩B ∩ C) = P (A) · P (B) · P (C). P (Ā ∩B ∩ C) = P (Ā) · P (B) · P (C). P (A ∩ B̄ ∩ C) = P (A) · P (B̄) · P (C). P (A ∩B ∩ C̄) [...] unabhängig voneinander in (Ω, P ) genau dann, wenn P (A ∩B) = P (A) · P (B). Damit folgen sofort für unabhängige Ereignisse A und B die Gleichungen PB(A) = P (A) und PA(B) = P (B). Oftmals werden die letzt
-
Dateityp
- application/pdf
-
Verlinkt bei
-
fileadmin/content/institute/mathematik/lorenzen/geometrie/serie-8-geometrie.pdf
Aufgaben 3, 4, 5 und 6 wird ein Link zu einem GeoGebra Applet angeboten. Es kann genutzt werden, um geometrische Zusammenhänge zu entdecken, variieren Sie dazu die Kon- figurationen. Aufgabe 3 Sei ABCD [...] Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 8 Abgabe der Bearbeitungen am Freitag, den 10. Mai bis 12 Uhr Sei (P,G,≡,⊥) eine euklidische Ebene. Aufgabe 1 Man bestimme im Haus der Vierecke die folgenden Schnitte und
-
Dateityp
- application/pdf
-
Verlinkt bei
-
fileadmin/content/institute/mathematik/lorenzen/stochastik/serie-8-2023-stochastik.pdf
ule.de/sisonline/struktur/jahrgang21-2001/heft3/2001-3_Atm_Kra.pdf https://www.stochastik-in-der-schule.de/sisonline/struktur/jahrgang21-2001/heft3/2001-3_Atm_Kra.pdf [...] einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ) an und bestimme die na- türliche Zahl n, für die die Wahrscheinlichkeit, eine dunkle Zigarre zu greifen, genau 1 3 wird. Aufgabe 3 [WDH und Ergänzung aus der Plenarübung] [...] eine dunkle und n + 3 helle. Ein Raucher wählt in zufälliger Weise eine Seite aus einem Buch mit genau 300 Seiten und bestimmt dann den Rest der gewählten Seitennummer bei Division durch 3. Dann greift er
-
Dateityp
- application/pdf
-
Verlinkt bei
-
fileadmin/content/institute/mathematik/lorenzen/analysis/serie-8-2023-analysis.pdf
natürliche Zahl n sei P (n) eine Aussage. Wenn (1) P (1) wahr ist, und (2) die Implikation ∀n ∈ N : P (n)⇒ P (n+ 1) auch wahr ist, dann gilt P (n) für alle natürlichen Zahlen n, d.h. ∀n ∈ N ist P (n) wahr. Aufgabe [...] Aussage. Aufgabe 2 Man zeige: Für alle natürlichen Zahlen n gilt: 1 · 3 + 2 · 4 + 3 · 5 + . . . + n(n+ 2) = n(n+ 1)(2n+ 7) 6 Aufgabe 3 Man zeige: Für alle natürlichen Zahlen n gilt: a) 5 | (n5 − n) b) 24 [...] 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 definiert. Man zeige, dass für alle natürlichen Zahlen n die Aussage A(n) wahr ist. b) Für alle natürlichen Zahlen wird eine Aussage B(n) : 1 + 5+ 9+ . . . + (4n− 3) =
-
Dateityp
- application/pdf
-
Verlinkt bei
-
fileadmin/content/institute/mathematik/lorenzen/geometrie/serie-7-geometrie.pdf
Europa-Universität Flensburg - FrSe 24 Geometrie und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 7 Sei (P,G,≡,⊥) eine euklidische Ebene. Aufgabe 1 Sei das 9-Punkte-Modell gegeben. Man beweise oder widerlege: [...] BC ist. Hinweis. Man schaue sich die Situation im 9-Punkte Modell an, z.B. am Trapez ACEF. Aufgabe 3 Man beweise den Satz 9.4 aus der Vorlesung, also: Seien a, b nicht-parallele Geraden und w eine Win [...] senkrecht zur Verbindungsgeraden von A und B, es gilt also XC ⊥ AB Abgabe der Bearbeitungen am Freitag, den 3. Mai bis 12 Uhr Europa-Universität Flensburg - FrSe 24 Geometrie und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen
-
Dateityp
- application/pdf
-
Verlinkt bei
-
fileadmin/content/institute/mathematik/lorenzen/stochastik/serie-7-2023-stochastik.pdf
6= 0. Dann gilt für jedes i ∈ {1, 2, 3, . . . , n} PA(Bi) = PBi (A) · P (Bi) P (A) = PBi (A) · P (Bi)∑n k=1 PBk (A) · P (Bk) . Aufgabe 1 Unter den letzten vier Spielerinnen eines Tennis-Turniers stehen [...] Definition . Sei B ein Ereignis eines Wahrscheinlichkeitsraumes (Ω,P) mit P (B) > 0. Dann heißt für jedes Ereignis A ⊆ Ω PB(A) = P (A ∩B) P (B) . die bedingte Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A unter der [...] Ereignisse A,B eines Wahrscheinlichkeitsraumes gilt stets P (A ∩B) = P (B) · PB(A). (∗) Erweiterung auf weitere Ereignisse C, D durch P (A ∩B ∩ C ∩D) = P (A) · PA(B) · PA∩B(C) · PA∩B∩C(D), usw. Satz (von der
-
Dateityp
- application/pdf
-
Verlinkt bei
-
fileadmin/content/institute/mathematik/lorenzen/geometrie/serie-6-geometrie.pdf
9-Punkte-Modell beschäfti- gen, und zwar mit Punkt- und Geradenspiegelungen. Statt der Buchstaben P1, P2, . . . könnte man folgende Buchstaben für die Bezeichnungen der Punkte vorschlagen: A B C D E F G [...] überführt. Europa-Universität Flensburg-FrSe 2024 Geometrie und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Aufgabe 3 Man zeige im 9-Punkte-Modell: a) Jede 5-elementige Teilmenge von {A,B,C,D,E, F,G,H, I} enthält mindestens [...] siehe Abbildung 1 (nächste Seite). a) Man zeige, dass die Seitenlängen des Dreiecks MXC im Verhältnis 3 : 4 : 5 stehen. b) Man zeige, dass Y die Strecke AD drittelt. Europa-Universität Flensburg-FrSe 2024
-
Dateityp
- application/pdf
-
Verlinkt bei
-
fileadmin/content/institute/mathematik/lorenzen/geometrie/serie-5-geometrie.pdf
andere als kongruent sind), denn es gilt ja P1P3 = P2P3 und damit folgt ja P1P3 ‖ P2P3, also die zweite Bedingung in der obigen Defi- nition. Auch gilt P2P7 ≡ P4P9, die beiden Strecken gehören der roten [...] Europa-Universität Flensburg-FrSe 2024 Geometrie und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 Wir bezeichnen (s.u.) die Menge der blauen Geraden mit Gblau und die der roten mit Grot [...] Definition, um P1P5 6≡ P6P9 einzusehen. Sei nun wie oben P := {P1, P2, . . . , P9} und G = Gblau ∪ Grot. Wir werden uns in der näch- sten Vorlesung überlegen, dass durch die obige Konstruktion (P,G,≡,⊥) wunschgemäß
-
Dateityp
- application/pdf
-
Verlinkt bei
-
fileadmin/content/institute/mathematik/lorenzen/stochastik/serie-5-2023-stochastik.pdf
werden. Aufgabe 1 Es sei (Ω, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum mit Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4}. Es gilt P ({ω1}) = P ({ω2}) und P ({ω3}) = P ({ω4}) = 2 · P ({ω1}). Man bestimme P ({ω1, ω3}). Aufgabe 2 a) Eine Zahl [...] aber verdeckte Karte Spieler A ist am Zug A 3 Paare B 0 Paare A 1 Paar B 2 Paare A 0 Paare B 3 Paare A 0 Paare B 3 Paare A 2 Paare B 1 Paar A 0 Paare B 3 Paare A 3 Paare B 0 Paare Aufgaben: 1. Versuchen Sie [...] Stochastik I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen 1 2 3 1 2 3 4 0 Aufgabe 5 Auf einem Schachbrett steht der schwarze König auf dem Feld a8 (bzw. e3). Die weiße Dame, die sich von ihrem Feld aus horizontal
-
Dateityp
- application/pdf
-
Verlinkt bei
-