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< n2 = |P|, also gilt, dass g eine echte Teilmenge von P ist, also g ⊂ P. Also findet man einen Punkt C ∈ P mit C 6∈ g. Wegen . . . ist ABC ein echtes Dreieck. Wir definieren für jeden Punkt P (A) := ⋃ [...] Satz 0.1. Sei (P,G) eine endliche Inzidenzstruktur. Dann gilt∑ A∈P |GA| = ∑ g∈G |g|. Beweis 0.1. Die Inzidenzrelation I der Inzidenzstruktur (P,G) besteht aus allen Paaren (A, g) mit A ∈ P, g ∈ G, A ∈ g [...] Klasseneinteilung von P. Also gilt |P| = ∑ g∈Ga |g| = ∑ g∈Ga n = |Ga| · n = Teil a) . . . · n = n2. zu d) Es gilt: |G| · n = ∑ g∈G |g| = Satz 0.1) ∑ A∈P |. . . | = Teil b) ∑ A∈P . . . = |. . . | · (n+
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ng. Aufgabe 3 Es wird mit 4 Würfeln gewürfelt. a) Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme 14 ist. b) Man zeige, dass für jede Augensumme A gilt: P (AugensummeA) = P (Augensumme 4 [...] trägt die Zahlen 1, 1, 5, 5, 5, 5, der zweite die Zahlen 2, 2, 2, 2, 6, 6 und der dritte die Zahlen 3, 3, 4, 4, 4, 4. Dann würfeln zwei Spieler, und wer von beiden die größere Augenzahl gewürfelt hat, be- [...] bekommt 2 Punkte, wenn Wap- pen erscheint, und 1 Punkt, wenn Zahl erscheint. Wenn ein Spieler mindestens 3 Punkte erreicht hat, wird das Spiel sofort abgebrochen, und dieser Spieler hat gewonnen. Für wen würden
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Lorenzen Übung 3 Aufgabe 1 Man beweise oder widerlege: a) Sei P eine Menge mit der Mächtigkeit 3. Sei Ga die Menge aller zweielementigen Teilmengen von P. Dann ist (P,Ga) eine affine Ebene. b) Sei P eine Menge [...] Teilmengen von P. Dann ist (P,Gb) eine affine Ebene. c) Sei P eine Menge mit der Mächtigkeit 5. Sei Gc die Menge aller zweielementigen Teilmengen von P. Dann ist (P,Gc) eine affine Ebene. d) Sei P eine Menge [...] aller zweielementigen Teilmengen von P. Dann ist (P,Gd) eine affine Ebene. Aufgabe 2 Man überprüfe die folgenden Aussagen daraufhin, ob sie in jeder affinen Ebene (P,G) gelten. a) Zu jedem Punkt A gibt
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da |P(Ω)| = 2n. Eine Wahrscheinlichkeit auf der Grundmenge(probability) wird nun als Funktion P mit P : P(Ω)→ [0,1] , T 7→ P (T ) ∈ [0,1] mit zwei zentralen Eigenschaften definiert, nämlich • P (Ω) = [...] = 1, und • P ( ⋃ i∈I Ti) = ∑ i∈I P (Ti), für alle paarweisen disjunkten (Ti)i∈I , d.h Ti ∩ Tj = ∅ für alle i 6= j, wobei i und j Elemente einer (abzählbaren) Indexmenge sind. Das Paar (Ω, P ) wird dann [...] Menge. Eine Wahrscheinlichkeit(sfunktion) P heißt Laplace-Wahrscheinlichkeit genau dann, wenn für alle (Elementar-)Ergebnisse ω ∈ Ω bzw. Ereignisse {ω} ⊆ Ω gilt: • P ({ω}) = 1 |Ω| , wobei |Ω| die Anzahl der
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der Menge M := {1, 2, 3, 4, 5} gegeben: ◦ 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 2 2 1 4 5 3 3 3 4 5 2 1 4 4 5 1 3 2 5 5 3 2 1 4 ∗ 1 2 3 4 5 1 4 3 1 5 2 2 3 5 2 1 4 3 1 2 3 4 5 4 5 1 4 2 3 5 2 4 5 3 1 Man beweise, dass genau [...] Aufgabe 3 Für alle a, b ∈ Q sei für eine Verknüpfung ∗ auf Q definiert: a ∗ b := a · b a+ b , für a 6= 0, b 6= 0, a+ b 6= 0 a+ b , sonst a) Man berechne 0 ∗ 0, 1 ∗ (−1), 0 ∗ 1 2 , (− 2 3) ∗ 3 4 b) Man [...] Beispiel schöne Gleichungen lösen, hier gibt es eine: e) Man bestimme die Lösungen der Gleichung x ∗ x ∗ 3 = 3 4 in (Q, ∗) Abgabe der Bearbeitungen am Freitag, den 31. März bis 10 Uhr Europa-Universität Flensburg
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Geraden. (P,G) ist somit die Inzidenzstruktur der Zeichenebene. Aufgabe 1 Sei P := {A,B,C,D} eine Menge von Punkten. Offenbar gilt |P| = 4. a) Man bestimme die Anzahl aller möglichen Inzidenzstrukturen (P,G) [...] einfachen Strukturbegriff diskutiert und etabliert: Definition 0.1. Sei P eine Menge und G eine Menge von Teilmengen von P. Dann heißt (P,G) eine Inzidenzstruktur, wobei wir die Elemente aus G Linien bzw. Geraden [...] passende Inzidenzstrukturen (P,G) an, wobei die „Geraden“ durch verschiedene Farben darge- stellt sind. (a) (b) Aufgabe 3 Man gebe für die geg. Figur eine passende Inzidenzstruktur (P,G) an. In der Figur sind
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Ortslinie p bestimmt. Beweis. Seien pa := (Z, l, p) und pa′ := (Z′, l′, p) Parabeln (mit derselben Ortslinie p). Zu zeigen ist Z = Z′ und l = l′. Sei h die Achse von pa′ durch Z. Dann haben h, p genau eine [...] Tangenten schneiden p in genau einem Punkt. Satz .3 (Charakterisierung der Tangenten). a) Keine Tangente ist eine Achse. b) Keine Tangente geht durch Z. c) Sei s die Scheiteltangente von (Z, l, p). Für jede Gerade [...] Geraden, die p in genau einem Punkt schneiden. Beweis. Sei A ∈ p und g eine Gerade durch A, die weder eine Achse noch eine Tangente ist. Zu zeigen ist, dass g noch einen weiteren Schnittpunkt mit p hat. Sei
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eine Gerade g und ein nicht auf g liegender Punkt P . Man konstruiere unter alleiniger Verwendung von Zirkel und Lineal alle Geraden durch den Punkt P , die mit g einen Winkel von 60o bilden! [...] m. Die Mittelpunkte von BC bzw. DA seien M bzw. N . Dann ist auch AMCN ein Parallelogramm. Aufgabe 3 Es sei ein echtes Dreieck ABC mit Höhenschnittpunkt H /∈ {A,B,C}, Umkreis k und Um- kreismittelpunkt
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parallele und verschiedene Geraden. Sei p eine weitere zu a parallele Gerade mit ∀X ∈ p : XXa ≡ XXb. Diese Gerade p nennen wir die Mittelparallele von a und b. Satz. Sei p die Mittelparallele zweier Geraden [...] AB ist. (2) Dann ist ABC ein echtes Dreieck. (3) Wenn AB ⊥ a gilt die Behauptung nach Definition von p. (4) Sei APB ein kollineares Dreieck mit A ∈ a, P ∈ p und B ∈ b. (5) Damit gilt die Behauptung AP ≡ [...] Geraden a, b. Dann gilt für jedes kollineare Dreieck APB mit A ∈ a, P ∈ p und B ∈ b die Kongruenz AP ≡ PB, d.h. P ist der Mittelpunkt der Seite AB. a) Man zeichne eine passende Figur. b) Man sortiere die einzelnen
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Würfen mindestens 4 mal trifft, zwischen 5 8 und 2 3 liegt. b) Man zeige, dass man auf 3s − 3 · 2s + 3 · 1s verschiedene Arten s verschiedene Bücher auf 3 Schüler so verteilen kann, dass kein Schüler leer [...] 7→ W (x) = P ({X = x}) := P ({ω ∈ Ω|X(ω) = x}) nennen wir eine Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion der Zufallsgröße X oder kurz eine Verteilung von X. Es ist also P ({X = x}) (oder kurz P (X = x) ) die [...] Es sind drei Urnen gegeben, in der ersten Urne sind 3 weiße und 5 schwarze, in der zweiten 4 weiße und 3 schwarze und der dritten auch 4 weiße und 3 schwarze Kugeln. Jens zieht eine Kugel aus der ersten
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