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stets P (A ∩B) = P (B) · PB(A). (∗) Erweiterung auf weitere Ereignisse C, D durch P (A ∩B ∩ C ∩D) = P (A) · PA(B) · PA∩B(C) · PA∩B∩C(D), usw. Satz (von der totalen Wahrscheinlichkeit) Sei n ∈ N. Seien Bi paarweise [...] Europa-Universität Flensburg - HeSe 23/24 Stochastik I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 7 Abgabe der Bearbeitungen am Freitag, den 10. November bis 10 Uhr Es folgt eine kurze Zusammenfassung [...] 3, . . . , n}. Europa-Universität Flensburg - HeSe 23/24 Stochastik I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Sei Ω = ⋃n i=1Bi. Sei A ein weiteres Ereignis mit P (A) 6= 0. Dann gilt für jedes i ∈ {1,
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∈ B ist bijektiv daher ist g−11 ◦ h : A→ B eine bijektive Funktion h : A→W (g) und g−11 : W (g)→ B sind bijektive Funktionen da W (g) ⊆ A, ex eine bijektive Funktion h : A→W (g) g1 ◦ f : A→W (g) ist injektiv [...] zeige, dass die Menge (0, 2) := {x | x ∈ R, 0 < x < 2} gleichmächtig zur Menge der reellen Zahlen ist, d.h. es gilt |(0, 2)| = |R|, indem man den in der Vorlesung getätigten Beweis für |(0, 1)| = |R| umschreibt [...] Europa-Universität Flensburg-FrSe 2023 Analysis I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 7 Abgabe der Bearbeitungen am Freitag, den 5. Mai bis 12 Uhr Aufgabe 1 In der letzten Vorlesung wurden die
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und Geradenspiegelungen (wenn man also z.B. die Gerade {C,D,H} an B mittels der Abbildung πB punktspiegelt ist {C,D,H}πB wieder eine Ge- rade, und d) die senkrechttreue bei Geradenspiegelungen (wenn man also [...] die beiden zueinander senkrechte Geraden {G,H, I} und {B,E,H} an {A,E, I} durch die Abbildung σ{A,E,I} spiegelt, dann sollte auch {G,H, I}σ{A,E,I} zu {B,E,H}σ{A,E,I} senkrecht sein). Aufgabe 2 Zwei Dreiecke [...] FrSe 2024 Geometrie und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Aufgabe 3 Man zeige im 9-Punkte-Modell: a) Jede 5-elementige Teilmenge von {A,B,C,D,E, F,G,H, I} enthält mindestens eine Gera- de. b) Für jedes
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auf R ist. b) Man beweise, dass g ◦ f eine Funktion auf R ist. c) Ist auch die Verkettung h ◦ f mit h : R→ R mit h(x) := x3 eine Funktion auf R? Aufgabe 3 a) Sei N3 = {1, 2, 3} und N4 = {1, 2, 3, 4}. Man [...] Europa-Universität Flensburg-FrSe 2023 Analysis I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 6 Aufgabe 1 Sei f : Z→ N mit z 7→ f(z) := { 2z + 1, z ≥ 0 −2z, z < 0 eine Funktion. Wie leicht zu zeigen [...] für a, b ∈ N gilt. c) Man zeige, dass das Verknüpfungspaar (N, ◦) (G1), (G2), (G3) und (G4) erfüllt. d) Man bestimme die Lösungen der Gleichung x ◦ x ◦ 11 = 23 in (N, ◦). Aufgabe 2 Sei f eine Relation auf
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Europa-Universität Flensburg - HeSe 23/24 Stochastik I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Situation und kehren sie um, d.h. bearbeiten Sie nun die folgende Aufgabe: In einer Urne liegen weiße und schwarze [...] Europa-Universität Flensburg - HeSe 23/24 Stochastik I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 6 Abgabe der Bearbeitungen am Freitag, den 3. November bis 10 Uhr Zusammenfassung unserer „Abzählformeln“:
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gibt es zu viele Punkte. Betrachten Sie nun das Paar (Z13 \ D,G), wobei wieder D := {[0], [1], [3], [9]}, aber jetzt g(A) := {D +A | D ∈ D} \ D gilt. Schließlich sei G := {g(A) | A ∈ Z13 \ {[0]}}. Aufgabe [...] auf der Menge G, die auch mit unserer Visualisierung von oben übereinstimmt: g ⊥ h :⇔ [g ∦ h] und [ g, h ∈ Gblau oder g, h ∈ Grot ] Für die Kongruenzrelation ≡ entscheiden wir uns in Ermangelung und auch [...] Strecken werden dabei zuallererst kongruent gemacht. AB ≡ CD :⇔ [A = B,C = D] oder [ A 6= B,C 6= D,AB ‖ CD ] oder [ A 6= B,C 6= D,AB ⊥ CD ] Abgabe der Bearbeitungen bis Freitag, den 19. April bis 12 Uhr
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Intelligenz, d.h. z.B. ohne Vergessen gespielt wird! Abgabe der Bearbeitungen am Freitag, den 20. Oktober bis 10 Uhr Europa-Universität Flensburg - HeSe 23/24 Stochastik I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen [...] die zweite eine weniger also n − 1 Möglichkeiten der Auswahl, etc. bis wir k Kugel gezogen haben, d.h. bis n − (k − 1) Möglichkeiten. Insgesamt ergibt sich für diesen Versuch nach obiger Produktregel n [...] dass c durch 6 oder 8 teilbar ist. d) Die Ergebnisse aus a), b) und c) lassen einen allgemeinen Satz vermuten. Man formuliere und beweise ihn. [Sie dürfen auch nur Teil d) machen :-)] Aufgabe 3 In zwei Urnen
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Seien f, g, h reelle Funktionen (also Funk- tion von R nach R). Dann gilt (g + h) ◦ f = (g ◦ f) + (h ◦ f) d) Seien f, g, h reelle Funktionen (also Funk- tion von R nach R). Dann gilt f ◦ (g + h) = (f ◦ g) [...] - FrSe 23 Analysis I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 5 Aufgabe 1 Man bestimme drei verschiedene bijektive Funktionen f, g, h mit f, g, h : [1, 3]→ [2, 6] . Hinweis: Für reelle a, b wird [...] R \ {5}, x 7→ 5x+1 x−2 c) Seien a, b ∈ R und g : R→ R, x 7→ ax+ b (Fallunterscheidung) d) Seien a, b, c ∈ R und h : R→ R, x 7→ ax2 + bx+ c (Fallunterscheidung) Aufgabe 3 Man beweise oder widerlege: a)
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aus dem zweiten Semester oder aber auch hier 1) und D eine Teilmenge von R. D heißt eine Differenzenmenge von R, wenn die Abbildung δ mit δ : D ×D \ idD → R \ {0}, (x, y) 7→ δ((x, y)) := x− y eine Bijektion [...] Geometrie und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen (2) Für alle A ∈ R \ {0} gilt: |(D +A) ∩ D| = 1. Direkt daraus folgt: (3) Für alle A,B ∈ R mit A 6= B gilt: |(D +A) ∩ (D +B)| = 1. (4) Für alle A ∈ R \ {0} [...] von R. Für jedes A ∈ R\{0} sei g(A) := (D+A)\D, wobei wieder D+A := {X+A|X ∈ D} gilt. Es sei weiterhin G := {g(A)|A ∈ R \ {0}}. Man beweise nun den folgenden Satz mit dem Satz 0.3, dem Kriterium für endliche
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Dr. H. Lorenzen Übung 4 Aufgabe 1 Man fülle die u.a. Verknüpfungstabelle so aus, dass das Paar (S, ∗) mit der Menge S := {a, b, c, d} isomorph zur Gruppe a) (Z4,+), b) (Z5\{[0]}, ·) wird. ∗ a b c d a b [...] Prof. Dr. H. Lorenzen Aufgabe 7 nicht schriftlich Visualisieren Sie die folgenden Mengen in einem Koordinatensystem: a) A = {(x, y) ∈ R2 | y ≤ 3} b) B = {(x, y) ∈ R2 | 2x = 3y} c) C = {0} × R d) D = {(x, [...] {(x, y) ∈ R2 | 2 ≤ y ≤ 3 ∧ y − 2 ≤ x ≤ 4− y} • D := {(x, y) ∈ R2 | 2 ≤ y ≤ 3 ∧ 4− y ≤ x ≤ 7− y} Bestimmen und skizzieren Sie A ∪B ∪ C ∪D und A ∩B ∩ C ∩D. Abgabe der Bearbeitungen am Freitag, den 7. April
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