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g 6‖ h gibt es einen Punkt A mit A 6∈ g und A 6∈ h. c) Zu jedem echten Dreieck ABC gibt es einen Punkt D mit D 6∈ AB, D 6∈ BC, D 6∈ CA. *********************************************************************** [...] Geraden g, h : g ‖ h⇔ g = h oder g = P \ {h}. Daraus folgt sofort Axiom (P). Axiom (D) gilt offensichtlich. Zu b) Sei (P,G) ein affines Minimalmodell. Also ist seine Ordnung n ≥ 2. Wegen Axiom (D) ist n < [...] mindestens eine Gerade, die weder durch A noch durch B geht. d) In je zwei Geraden g, h gibt es mindestens einen Punkt, der weder auf g noch auf h liegt. Aufgabe 3 Für diese Aufgabe machen wir folgende Ve
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Europa-Universität Flensburg - HeSe 23/24 Stochastik I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 3 Abgabe der Bearbeitungen bis Freitag, den 6. Oktober bis 10 Uhr Was bisher geschah: Sei Ω eine nichtleere [...] nämlich • P (Ω) = 1, und • P ( ⋃ i∈I Ti) = ∑ i∈I P (Ti), für alle paarweisen disjunkten (Ti)i∈I , d.h Ti ∩ Tj = ∅ für alle i 6= j, wobei i und j Elemente einer (abzählbaren) Indexmenge sind. Das Paar (Ω [...] Fälle ausspricht. Europa-Universität Flensburg - HeSe 23/24 Stochastik I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Wenden wir uns nun einigen Aufgaben aus diesem Kontext zu, wobei - wenn nicht erwähnt - stets
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bilden eine UntergruppeH von (N0,⊕), mit der Ordnung 100. c) Man gebe eine Untergruppe H2 von H an mit |H2| = 2, also mit Ordnung 2. d) Gibt es entsprechende Untergruppen H4, H5, H50 von H? Abgabe der Bearbeitungen [...] Flensburg - FrSe 23 Analysis I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Aufgabe 4 Sei ⊕ die „übertragsfreie Addition im Zehnersystem“ in N0, d.h. bei der (schriftlichen) Addi- tion zweier Ziffern wird lediglich [...] Europa-Universität Flensburg - FrSe 23 Analysis I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 3 Achtung: Am kommenden Montag wird die Vorlesung auch über WebEx Raum angeboten https://uni-flensburg.webex
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Flensburg 2024 Geometrie und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 2 Das Durchlaufen von Linien oder Geraden ist ein Anordnungsphänomen, d.h. man „durch- läuft“ eine Gerade z.B. von „links nach rechts“ [...] Außerdem gebe man für die u.a. Inzidenzstruktur eine kreative Figur an. (P,G) = ({A,B,C,D}, {{A,B}, {A,B,C}, {B,C,D}, {C,D}, {B}}) Aufgabe 4 Sei P := {A,B,C} eine Menge von Punkten. a) Man gebe alle Äquiva [...] bzw. Geraden nennen. Linien bzw. Geraden kürzen wir mit kleinen lateinischen Buchstaben ab, etwa g, h, i. Bei einer Inzidenzstruktur (P,G) gibt es keinerlei Einschränkungen. Daher kann es sein, dass die
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Europa-Universität Flensburg - HeSe 23/24 Stochastik I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 2 Abgabe der Bearbeitungen am Freitag, den 29. September bis 10 Uhr Da wir noch keine ernsthafte Theorie [...] hoffnungsvoll wieder.“ Europa-Universität Flensburg - HeSe 23/24 Stochastik I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Aufgabe 4 a) Zwei Karten werden nacheinander aus einem Spiel von 52 Karten (jeweils 13 Karten [...] viele Möglichkeiten der Anordnung hätte die Oma, wenn alle fünf T-Shirts ver- schiedene Farben hätten? d) Das fünfte T-Shirt war aber grün, auf der Leine hängen also ein rotes, ein blaues und drei grüne T-Shirts
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beweise: Für alle reellen Zahlen a, b, c, d mit b, d 6= 0 gilt: (a) a b + c d = ad+ bc bd . (b) a b − c d = ad− bc bd . (c) a b · c d = a · c b · d . (d) a b c d = a · d b · c , c 6= 0. Abgabe der Bearbeitungen [...] : Definition 0.1 (Distributivgesetz). (G5) (R,+) und (R\{0}, ·) erfüllen das Distributiv- gesetz, d.h. ∀ a, b, c ∈ R : a · (b+ c) = (b+ c) · a = (a · b) + (a · c). Es folgen weitere übliche Definitionen [...] Europa-Universität Flensburg - FrSe 23 Analysis I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 2 In der Vorlesung wurde besprochen (bzw. wird jetzt Montag wiederholt), wie unsere gewohn- ten „Rechengesetze
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und l = l′. Sei h die Achse von pa′ durch Z. Dann haben h, p genau eine Schnittpunkt. Also ist nach Folgerung 6 die Gerade h eine Achse oder eine Tangente von pa. Nach Satz 3 b) ist h keine Tangente von [...] Sei B der Verdopplungspunkt von AM , dann ist B ∈ g und B 6= A. Sei h die Achse durch B und B′ der Schnittpunkt von h, p. Wegen m ‖ h geht nach dem Mittelparallelensatz m durch den Mittelpunkt M ′ von AB′ [...] Sei g das Lot von Zt auf t. Dann gilt Z,Z′ ∈ g. Zusammen mit 8. folgt: Z = Z′ oder g = h. Annahme g=h. Dann gilt h ⊥ t, also t ‖ s und somit t = s. (nach Satz 4a) im Widerspruch zur Wahl von t. Also gilt
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Europa-Universität Flensburg - FrSe 2023 Analysis I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 13 Abgabe der Bearbeitungen erst am Freitag, den 16. Juni bis 12 Uhr Erinnerung: 12. Juni 12-14 Uhr Audimax: [...] mit a, b ∈ R b) lim x→x0 (a · x2 + b · x+ c) mit a, b, c ∈ R c) lim x→3 ( x2 − 2x− 3 x2 − 8x+ 15 ) d) lim x→2 (x3) Aufgabe 4 Man bestimme den Grenzwert der reellen Funktion f mit f(x) := 4− x 2− √ x an [...] Konvergenz anschließend. Europa-Universität Flensburg - FrSe 2023 Analysis I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen ****************************************************************** Zum Abschluss folgt wieder
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echtes Dreieck ABC mit Höhenschnittpunkt H /∈ {A,B,C}, Umkreis k und Um- kreismittelpunkt M gegeben. Sei D 6= C der Schnittpunkt von CH mit k und sei E /∈ {C,D} der Schnittpunkt von CM mit k. Man zeige: [...] S • die Höhenlinie h von C aus (aber nicht die Ecke C). Man konstruiere die fehlenden Ecken B und C. Europa-Universität Flensburg - FrSe 24 Geometrie und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Aufgabe 7 [...] folgendes gegeben: • die Ecken A und C • ein Kreis h um C, auf dem der Lotfuß- punkt CAB liegt • ein Kreis s um A, auf dem der Mittel- punkt von BC liegt A C h s Man konstruiere die fehlende Ecke B. Schul-Aufgabe
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en, dann gilt: a) Die Folge {an − cn}n∈N ist eine Nullfolge, d.h. lim n→∞ {an − cn} = 0. b) Die Folge {bn}n∈N konvergiert auch gegen g, d.h. lim n→∞ {bn} = g. Zum Abschluss folgt wieder eine alte Aufgabe [...] b1, a2 · b2, a3 · b3, . . . }. Aufgabe 1 Man beweise: Seien {an}n∈N und {bn}n∈N konvergente Folgen, d.h. es gibt Grenzwerte a, b ∈ R mit lim n→∞ {an} = a und lim n→∞ {bn} = b, dann gilt auch, dass die Summe [...] ist {an · bn}n∈N eine Nullfolge. Aufgabe 3 Man beweise Seien {an}n∈N und {bn}n∈N konvergente Folgen, d.h. es gibt Grenzwerte a, b ∈ R mit lim n→∞ {an} = a und lim n→∞ {bn} = b, Abgabe der Bearbeitungen am
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