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ein Parallelogramm ist. Satz 0.2 (Verträglichkeit von ⊥ und ‖). Für alle Geraden g, h, h′ mit h ⊥ g gilt: h′ ⊥ g ⇔ h′ ‖ h Satz 0.3 (Mittelparallelen-Satz). Sei ABC ein echtes Dreieck, L der Mittelpunkt von [...] Bewegung β gilt a) β ist geraden-treu, d.h. für jede Gerade g ist gβ := {Xβ|X ∈ g} wieder eine Gerade. b) β ist senkrecht-treu, d.h. für alle Geraden g, h gilt: g ⊥ h⇒ gβ ⊥ hβ Satz 0.13 (Zweideutigkeit der [...] parallelen Seitenlinien, d.h. AB ‖ A′B′, BC ‖ B′C ′ und CA ‖ C ′A′. Dann folgt aus AB ≡ A′B′ bereits ABC ≡ A′B′C ′. Satz 0.18. Es gilt a) sD ⊆ Dr b) sT ⊆ Tr c) Dr ∩ Tr = Pa d) sD ∩ Pa = Ra e) sT ∩ Pa = Re
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FrSe 23 Analysis I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen c) Man beweise, dass aus der Reflexivität von R und S die Reflexivität der Komposition S ◦R folgt. d) Nun könnte man auch erwarten, dass aus der [...] Europa-Universität Flensburg - FrSe 23 Analysis I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Unsere erste Übung in diesem Semester behandelt die am Freitag geschriebene Modulprüfung. Übung 1 Aufgabe 1 Man [...] beweise, dass auf die Prämisse der Aussage nicht verzichtet werden kann. c) Man beweise die Aussage. d) Gilt auch die Umkehrung der Aussage? Man beweise die getroffene Entscheidung. Aufgabe 3 Man untersuche
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beweise: Für alle reellen Zahlen a, b, c, d mit b, d 6= 0 gilt: (a) a b + c d = ad+ bc bd . (b) a b − c d = ad− bc bd . (c) a b · c d = a · c b · d . (d) a b c d = a · d b · c , c 6= 0. Abgabe der Bearbeitungen [...] : Definition 0.1 (Distributivgesetz). (G5) (R,+) und (R\{0}, ·) erfüllen das Distributiv- gesetz, d.h. ∀ a, b, c ∈ R : a · (b+ c) = (b+ c) · a = (a · b) + (a · c). Es folgen weitere übliche Definitionen [...] Europa-Universität Flensburg - FrSe 23 Analysis I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 2 In der Vorlesung wurde besprochen (bzw. wird jetzt Montag wiederholt), wie unsere gewohn- ten „Rechengesetze
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Reinders, H. (2015a). Interviews. In H. Reinders, H. Ditton, C. Gräsel & B. Gniewosz (Hrsg.), Empirische Bildungsforschung. Strukturen und Methoden (S. 93–107). Wiesbaden: Springer. Reinders, H. (2015b) [...] (2015b). Fragebogen. In H. Reinders, H. Ditton, C. Gräsel & B. Gniewosz (Hrsg.), Empirische Bildungsforschung. Strukturen und Methoden (S. 57–70). Wiesbaden: Springer. c) Eine Autorin/ ein Autor und Herausgeberin/ [...] Herausgeber & B. Herausgeberin (Hrsg.), Titel des Buches (S. XX–XX, Y. Aufl.). Ort: Verlag. Krull, D. & Gryl, I. (2017). Meteorologie in der Primarstufe. In P. Favre & C. Mathis (Hrsg.), Naturphänomene
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bilden eine UntergruppeH von (N0,⊕), mit der Ordnung 100. c) Man gebe eine Untergruppe H2 von H an mit |H2| = 2, also mit Ordnung 2. d) Gibt es entsprechende Untergruppen H4, H5, H50 von H? Abgabe der Bearbeitungen [...] Flensburg - FrSe 23 Analysis I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Aufgabe 4 Sei ⊕ die „übertragsfreie Addition im Zehnersystem“ in N0, d.h. bei der (schriftlichen) Addi- tion zweier Ziffern wird lediglich [...] Europa-Universität Flensburg - FrSe 23 Analysis I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 3 Achtung: Am kommenden Montag wird die Vorlesung auch über WebEx Raum angeboten https://uni-flensburg.webex
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Dr. H. Lorenzen Übung 4 Aufgabe 1 Man fülle die u.a. Verknüpfungstabelle so aus, dass das Paar (S, ∗) mit der Menge S := {a, b, c, d} isomorph zur Gruppe a) (Z4,+), b) (Z5\{[0]}, ·) wird. ∗ a b c d a b [...] Prof. Dr. H. Lorenzen Aufgabe 7 nicht schriftlich Visualisieren Sie die folgenden Mengen in einem Koordinatensystem: a) A = {(x, y) ∈ R2 | y ≤ 3} b) B = {(x, y) ∈ R2 | 2x = 3y} c) C = {0} × R d) D = {(x, [...] {(x, y) ∈ R2 | 2 ≤ y ≤ 3 ∧ y − 2 ≤ x ≤ 4− y} • D := {(x, y) ∈ R2 | 2 ≤ y ≤ 3 ∧ 4− y ≤ x ≤ 7− y} Bestimmen und skizzieren Sie A ∪B ∪ C ∪D und A ∩B ∩ C ∩D. Abgabe der Bearbeitungen am Freitag, den 7. April
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Seien f, g, h reelle Funktionen (also Funk- tion von R nach R). Dann gilt (g + h) ◦ f = (g ◦ f) + (h ◦ f) d) Seien f, g, h reelle Funktionen (also Funk- tion von R nach R). Dann gilt f ◦ (g + h) = (f ◦ g) [...] - FrSe 23 Analysis I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 5 Aufgabe 1 Man bestimme drei verschiedene bijektive Funktionen f, g, h mit f, g, h : [1, 3]→ [2, 6] . Hinweis: Für reelle a, b wird [...] R \ {5}, x 7→ 5x+1 x−2 c) Seien a, b ∈ R und g : R→ R, x 7→ ax+ b (Fallunterscheidung) d) Seien a, b, c ∈ R und h : R→ R, x 7→ ax2 + bx+ c (Fallunterscheidung) Aufgabe 3 Man beweise oder widerlege: a)
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auf R ist. b) Man beweise, dass g ◦ f eine Funktion auf R ist. c) Ist auch die Verkettung h ◦ f mit h : R→ R mit h(x) := x3 eine Funktion auf R? Aufgabe 3 a) Sei N3 = {1, 2, 3} und N4 = {1, 2, 3, 4}. Man [...] Europa-Universität Flensburg-FrSe 2023 Analysis I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 6 Aufgabe 1 Sei f : Z→ N mit z 7→ f(z) := { 2z + 1, z ≥ 0 −2z, z < 0 eine Funktion. Wie leicht zu zeigen [...] für a, b ∈ N gilt. c) Man zeige, dass das Verknüpfungspaar (N, ◦) (G1), (G2), (G3) und (G4) erfüllt. d) Man bestimme die Lösungen der Gleichung x ◦ x ◦ 11 = 23 in (N, ◦). Aufgabe 2 Sei f eine Relation auf
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∈ B ist bijektiv daher ist g−11 ◦ h : A→ B eine bijektive Funktion h : A→W (g) und g−11 : W (g)→ B sind bijektive Funktionen da W (g) ⊆ A, ex eine bijektive Funktion h : A→W (g) g1 ◦ f : A→W (g) ist injektiv [...] zeige, dass die Menge (0, 2) := {x | x ∈ R, 0 < x < 2} gleichmächtig zur Menge der reellen Zahlen ist, d.h. es gilt |(0, 2)| = |R|, indem man den in der Vorlesung getätigten Beweis für |(0, 1)| = |R| umschreibt [...] Europa-Universität Flensburg-FrSe 2023 Analysis I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 7 Abgabe der Bearbeitungen am Freitag, den 5. Mai bis 12 Uhr Aufgabe 1 In der letzten Vorlesung wurden die
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Implikation ∀n ∈ N : P (n)⇒ P (n+ 1) auch wahr ist, dann gilt P (n) für alle natürlichen Zahlen n, d.h. ∀n ∈ N ist P (n) wahr. Aufgabe 1 a) Für alle natürlichen Zahlen wird eine Aussage A(n) : 1 + 3 + 5 [...] Europa-Universität Flensburg-FeSe 2023 Analysis I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 8 Folgende Aufgaben sind durch Induktion zu beweisen. Zur Erinnerung: Satz 0.1 (Induktionsprinzip). Für jede
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