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zwei Aussagen: P : 7 ist ungerade Q : 81 ist eine Primzahl Man formuliere folgende Aussagen in Worten und überprüfe den Wahrheitswert: i) P ∨Q ii) P ∧Q iii) ¬P ∧Q iv) ¬P ∨ ¬Q v) P ⇒ Q vi) P ⇒ ¬Q b) Man [...] folgenden Ausdrücke nach obiger Definition Aussagen sind. a) Addiere die Zahlen 3 und 4. b) 123456789 ist eine Primzahl. c) 3 ≥ 3. d) Auf dem grünen Tisch liegt ein Heft. e) Heute so, morgen so. f) 4 ist eine [...] 4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3. . . Abgabe der Bearbeitungen bis Freitag, den 29. September bis 10 Uhr Europa-Universität Flensburg - HeSe 23/24 Algebra I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Aufgabe 3 a) Gegeben
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> x 3. ∃x ∈ Z ∀y ∈ Z : y < x 4. ∀x ∈ R ∃y ∈ R : x2 = y 5. ∀y ∈ R ∃x ∈ R : x2 = y 6. ∀y ∈ R ∃x ∈ R : x+ y = 0 7. ∃x ∈ R ∀y ∈ R : x+ y = 0 8. ∀x : P (x)⇒ ∃x : P (x) 9. ∃x : P (x)⇒ ∀x : P (x) Aufgabe 3 Man [...] Potenzmenge P(Mi) und deren Mächtigkeit, also |P(Mi)| an. i) M1 = {∅, 1, {c}} ii) M2 = {P({5})} Aufgabe 4 Sei U := {1, 2, 3} eine gegebene Universalmenge. Sei A := {1, 2}, B := {2, 3} und C := {1, 3}. Man bestimme [...] i) (A ∪B) \ (B ∩ C) ii) (P(A) ∪ P(B)) \ (P(B) ∩ P(C)) iii) A iv) B ∪ C Aufgabe 5 i) Für A := {1, {1}, {{1}}} bestimme man A×A. ii) Für A := {a, b} bestimme man P(A)×A und A× P(A). Abgabe der Bearbeitungen
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ungerade Zahlen a und b so, dass 4 | 3a2 + 7b2. b) Es gibt eine reelle Zahl x so, dass x6 + x4 + 1 = 2x2. c) Es gibt eine Zahl n so, dass n4 + n3 + n2 + n ungerade ist. Aufgabe 3 Man beweise oder widerlege. Seien [...] positive ganzen Zahlen a, b, c und d so, dass a2 + b2 + c2 = d2 gilt. b) Für alle Mengen A,B gilt: P(A ∪B) = P(A) ∪ P(B). [...] Übung 9 Abgabe der Bearbeitungen am Freitag, den 24. November bis 10 Uhr Aufgabe 1 Sei N := {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sei T eine Teilmenge von N × N für die genau 4 der 6 wesentlich voneinander verschiedenen
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ng. Aufgabe 3 Es wird mit 4 Würfeln gewürfelt. a) Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme 14 ist. b) Man zeige, dass für jede Augensumme A gilt: P (AugensummeA) = P (Augensumme 4 [...] trägt die Zahlen 1, 1, 5, 5, 5, 5, der zweite die Zahlen 2, 2, 2, 2, 6, 6 und der dritte die Zahlen 3, 3, 4, 4, 4, 4. Dann würfeln zwei Spieler, und wer von beiden die größere Augenzahl gewürfelt hat, be- [...] bekommt 2 Punkte, wenn Wap- pen erscheint, und 1 Punkt, wenn Zahl erscheint. Wenn ein Spieler mindestens 3 Punkte erreicht hat, wird das Spiel sofort abgebrochen, und dieser Spieler hat gewonnen. Für wen würden
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werden. Aufgabe 1 Es sei (Ω, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum mit Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4}. Es gilt P ({ω1}) = P ({ω2}) und P ({ω3}) = P ({ω4}) = 2 · P ({ω1}). Man bestimme P ({ω1, ω3}). Aufgabe 2 a) Eine Zahl [...] aber verdeckte Karte Spieler A ist am Zug A 3 Paare B 0 Paare A 1 Paar B 2 Paare A 0 Paare B 3 Paare A 0 Paare B 3 Paare A 2 Paare B 1 Paar A 0 Paare B 3 Paare A 3 Paare B 0 Paare Aufgaben: 1. Versuchen Sie [...] Stochastik I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen 1 2 3 1 2 3 4 0 Aufgabe 5 Auf einem Schachbrett steht der schwarze König auf dem Feld a8 (bzw. e3). Die weiße Dame, die sich von ihrem Feld aus horizontal
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6= 0. Dann gilt für jedes i ∈ {1, 2, 3, . . . , n} PA(Bi) = PBi (A) · P (Bi) P (A) = PBi (A) · P (Bi)∑n k=1 PBk (A) · P (Bk) . Aufgabe 1 Unter den letzten vier Spielerinnen eines Tennis-Turniers stehen [...] Definition . Sei B ein Ereignis eines Wahrscheinlichkeitsraumes (Ω,P) mit P (B) > 0. Dann heißt für jedes Ereignis A ⊆ Ω PB(A) = P (A ∩B) P (B) . die bedingte Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A unter der [...] Ereignisse A,B eines Wahrscheinlichkeitsraumes gilt stets P (A ∩B) = P (B) · PB(A). (∗) Erweiterung auf weitere Ereignisse C, D durch P (A ∩B ∩ C ∩D) = P (A) · PA(B) · PA∩B(C) · PA∩B∩C(D), usw. Satz (von der
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ule.de/sisonline/struktur/jahrgang21-2001/heft3/2001-3_Atm_Kra.pdf https://www.stochastik-in-der-schule.de/sisonline/struktur/jahrgang21-2001/heft3/2001-3_Atm_Kra.pdf [...] einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ) an und bestimme die na- türliche Zahl n, für die die Wahrscheinlichkeit, eine dunkle Zigarre zu greifen, genau 1 3 wird. Aufgabe 3 [WDH und Ergänzung aus der Plenarübung] [...] eine dunkle und n + 3 helle. Ein Raucher wählt in zufälliger Weise eine Seite aus einem Buch mit genau 300 Seiten und bestimmt dann den Rest der gewählten Seitennummer bei Division durch 3. Dann greift er
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C̄) = P (A) · P (B) · P (C̄). P (Ā ∩ B̄ ∩ C) = P (Ā) · P (B̄) · P (C). P (Ā ∩B ∩ C̄) = P (Ā) · P (B) · P (C̄). P (A ∩ B̄ ∩ C̄) = P (A) · P (B̄) · P (C̄). P (Ā ∩ B̄ ∩ C̄) = P (Ā) · P (B̄) · P (C̄) [...] r in (Ω, P ) genau dann, wenn die folgenden 23 = 8 Gleichungen gelten: P (A ∩B ∩ C) = P (A) · P (B) · P (C). P (Ā ∩B ∩ C) = P (Ā) · P (B) · P (C). P (A ∩ B̄ ∩ C) = P (A) · P (B̄) · P (C). P (A ∩B ∩ C̄) [...] unabhängig voneinander in (Ω, P ) genau dann, wenn P (A ∩B) = P (A) · P (B). Damit folgen sofort für unabhängige Ereignisse A und B die Gleichungen PB(A) = P (A) und PA(B) = P (B). Oftmals werden die letzt
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opportunities DAAD: Hilde Domin Programme | Scholars at Risk Type of funding: scholarship (861 € p.m. students; 1.200 € p.m. doctoral candidates) Target group: • students and doctoral candidates at risk from all [...] management and the host scientists in Germany Deadline: Proposals may be submitted until 5th of April, 2 p.m. Post-Doc Funding opportunities AvH: Philipp Schwartz Initiative Type of funding: research fellowship [...] host institution Being a recognized refugee researcher Having been outside home country for less than 3 years Deadline: Proposals may be submitted at any time. Other funding opportunities for Post-Docs Scholars
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mit x 7→ W (x) = P ({X = x}) := P ({ω ∈ Ω|X(ω) = x}) nennen wir eine Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsgröße X oder kurz eine Ver- teilung von X. Es ist also P ({X = x}) (oder kurz P (X = x) ) die [...] ..., xn} mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten W (xi) bzw. P (X = xi). Dann heißt die Zahl E(X) := n∑ i=1 xi ·W (xi) = n∑ i=1 xi · P (X = xi) der Erwartungswert der Zufallsgröße X. In diesem Zusammenhang [...] de wird für 1AC Einsatz folgendes Spiel angeboten: Aus 6 verdeckt liegenden Karten, von denen 3 rot und 3 schwarz sind, zieht der Spieler nacheinander und ohne Zurücklegen Karten, und zwar so lange, bis
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