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m, n ∈ N. Man beweise1 für 0 ≤ k ≤ m ≤ n einige Eigenschaften des Binomialkoeffizienten ( n k ) : a) ( n k ) = ( n− 1 k ) + ( n− 1 k − 1 ) b) ( n+ 1 k + 1 ) = ( n k ) + ( n k + 1 ) c) ( n k ) = ( n n− [...] P ) einWahrscheinlichkeitsraummit Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4}. Es gilt P ({ω1}) = P ({ω2}) und P ({ω3}) = P ({ω4}) = 2 · P ({ω1}). Man bestimme P ({ω1, ω3}). Aufgabe 6 1Je nach eigener Vorliebe wählen Sie hier [...] befinden sich vier Karten. Jede zeigt eine der Ziffern von 1 bis 4. Spielregeln: Zwei Spieler ziehen abwechselnd aus dem Beutel Karten. Spieler 1 gewinnt, wenn er entweder zwei gerade oder zwei ungerade
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Analysis I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 5 Aufgabe 1 Man bestimme drei verschiedene bijektive Funktionen f, g, h mit f, g, h : [1, 3]→ [2, 6] . Hinweis: Für reelle a, b wird definiert: [a, b] [...] f, g, h auf Injektivität und Surjektivität (mit Be- weis) a) f1 : R2 → R2, (x, y) 7→ (3x− 2, 5y + 7) b) f : R \ {2} → R \ {5}, x 7→ 5x+1 x−2 c) Seien a, b ∈ R und g : R→ R, x 7→ ax+ b (Fallunterscheidung) [...] n| = 1. Aufgabe 5 a) Sei S = {a, b, c, d} eine 4-elementige Menge und sei T die 6-elementige Menge aller 2- elementigen Teilmengen von S. Man zeige: Es gibt eine injektive Funktion f : S → {0, 1, 2, 3
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Ungleichung mit (n− 1) die Behauptung |GA| ≤ n+ 1. 4. Es gilt ∑ A∈P |GA| = ∑ A∈P (n+ 1). Beweis. n2 · (n+ 1) = ?) |G| · n = ?) ∑ g∈G |g| = Satz ? ∑ A∈P |GA| ≤ ?. ∑ A∈P (n+ 1) = ?) n2 · (n+ 1), also gilt die [...] A gilt: P (A) = P, warum? Sei also A ein Punkt. Dann gilt: |P (A)| − 1 = ?. |GA| · (n− 1) = ?. (n+ 1) · (n− 1) = n2 − 1 = ?) |P| − 1. Abgabe der Bearbeitungen direkt in die Lücken dieses Blattes schreiben [...] Gleichung |P (A)| − 1 = |P (A) \ {A}| = ∑ g∈GA |g \ {A}| = |GA| · (n− 1). 3. Für alle Punkte A gilt: |GA| ≤ n+ 1. Beweis. Sei A ein Punkt, dann gilt |GA| · (n− 1) = 2. . . . ≤ |P| − 1 = i) . . . . Also folgt
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Ausdrücke der Form 10·9·8·7 4·3·2·1 oder 7·6 2·1 über den Weg gelaufen. Wir definieren für alle n, k ∈ N mit k ≤ n:( n k ) := n · (n− 1) · · · · · (n− k) k · (k − 1) · · · · · 1 .( n k ) wird Binomialkoeffizient [...] Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 4 Aufgabe 1 Sie haben in den vergangenen Wochen oft Ausdrücke der Form 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 bzw. allgemein n! = n · (n − 1)·. . . ·1 für natürliche Zahlen n benutzt, um [...] izient genannt und oft kurz ’n über k’ gelesen. Es ist also( 10 4 ) = 10·9·8·7 4·3·2·1 und ( 7 2 ) = 7·6 2·1 . a) Erklären Sie anhand (mindestens 2) geeigneter Beispiele, wann der Binomi- alkoeffizient
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A = {(x, y) ∈ R2 | y = 2} • B = {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x ≤ 3 ∧ 3 ≤ y ≤ 4} • C = R× {2}. • D = [1, 3]× R • E = R× [3, 4] • F = {(x, y) ∈ R2 | x = 4} • G = [1, 3]× [3, 4] • H = {(x, y) ∈ R2 | 3 ≤ y ≤ 4} • I [...] x 7→ x2 − 3x + 2 weder injektiv noch surjektiv. Man bestimme jeweils Teilmengen T1, T2 von R so, dass f∗ ⊆ f mit f∗ : T1 → T2 (i) injektiv, aber nicht surjektiv ist. (ii) surjektiv, aber nicht injektiv [...] Europa-Universität Flensburg FeSe 2023 Analysis I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 4 Aufgabe 1 Man fülle die u.a. Verknüpfungstabelle so aus, dass das Paar (S, ∗) mit der Menge S := {a, b, c, d}
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Europa-Universität Flensburg - FrSe 24 Geometrie und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 3 Aufgabe 1 Man beweise oder widerlege: a) Sei P eine Menge mit der Mächtigkeit 3. Sei Ga die Menge aller zweie [...] Punkt, der weder auf g noch auf h liegt. Aufgabe 3 Für diese Aufgabe machen wir folgende Vereinbarungen 1. (Vein) bedeutet die Eindeutigkeitsaussage des Axioms (V ) 2. (Vex) bedeutet die Existenzaussage des [...] Geometrie und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Bemerkung: Offenbar ist das Paar ({A,B,C,D},Gb) (vgl. 1 b) und die Vorlesung am Montag) eine affine Ebe- ne, die wohl kleinste Ebene. Sei G2 := Gb. Hier der
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Ereignisse A1, A2 und A3. (ii) Man bestimme P (A1 ∪ A2), P (A1 ∪ A3) und P (A2 ∪ A3). (iii) Man bestimme P (A1 ∩ A2), P (A1 ∩ A3) und P (A2 ∩ A3). (iv) Man bestimme die Wahrscheinlichkeiten P (Ac 1 ∪ Ac 2) [...] stets P (A ∪B) ≤ P (A) + P (B). Wann gilt Gleichheit? c) Für Ereignisse A1, A2, . . . , An ⊆ Ω gilt P (A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An) ≤ P (A1) + P (A2) + · · ·+ P (An). Aufgabe 4 In einer Schachtel sind genau 100 [...] folgenden Ereignisse: • A1 :=” Mindestens eine Münze zeigt Kopf.“ • A2 :=” Höchstens eine Münze zeigt Zahl.“ • A3 :=” Mindestens zwei Münzen zeigen Kopf.“ b) (i) Man bestimme1 P (A1), P (A2), P (A3), also
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der Menge M := {1, 2, 3, 4, 5} gegeben: ◦ 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 2 2 1 4 5 3 3 3 4 5 2 1 4 4 5 1 3 2 5 5 3 2 1 4 ∗ 1 2 3 4 5 1 4 3 1 5 2 2 3 5 2 1 4 3 1 2 3 4 5 4 5 1 4 2 3 5 2 4 5 3 1 Man beweise, dass [...] definiert: a ∗ b := a · b a+ b , für a 6= 0, b 6= 0, a+ b 6= 0 a+ b , sonst a) Man berechne 0 ∗ 0, 1 ∗ (−1), 0 ∗ 1 2 , (− 2 3) ∗ 3 4 b) Man zeige: ∃e ∈ Q ∀q ∈ Q : e ∗ q = q ∗ e = q c) Man zeige: ∀q ∈ Q ∃q′ ∈ [...] wird lediglich die Einerziffer notiert. Folgendes Beispiel soll dies illustrieren: 2 8 4 1 2 ⊕ 3 6 7 9 7 = 5 4 1 0 9 a) Man zeige: Die Verknüpfungsstruktur (N0,⊕) ist eine kommutative Gruppe. b) Man zeige:
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im Vergleich zur Kongruenzstruktur einfachen Strukturbegriff diskutiert und etabliert: Definition 0.1. Sei P eine Menge und G eine Menge von Teilmengen von P. Dann heißt (P,G) eine Inzidenzstruktur, wobei [...] sich die Elemente von G als Geraden. (P,G) ist somit die Inzidenzstruktur der Zeichenebene. Aufgabe 1 Sei P := {A,B,C,D} eine Menge von Punkten. Offenbar gilt |P| = 4. a) Man bestimme die Anzahl aller möglichen [...] und gebe deren Äquivalenzklassen an (mit Beweis). b) Man gebe zwei verschiedene Kongruenz-Relationen ≡1 und ≡2 auf P ×P an (mit Beweis). ******************************************************************
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befinden sich vier Karten. Jede zeigt eine der Ziffern von 1 bis 4. Spielregeln: Zwei Spieler ziehen abwechselnd aus dem Beutel Karten. Spieler 1 gewinnt, wenn er entweder zwei gerade oder zwei ungerade [...] ität Flensburg - HeSe 24/25 Stochastik I und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 2 Aufgabe 1 Neun Karten werden so ausgelegt wie in der folgenden Abbildung. Aufgabe 4 Neun Karten werden so ausgelegt [...] modellieren? Spielen Sie ruhig. . . Aufgabe 2 Judith beschäftigt sich mit Zahlen, die nur aus den Ziffern 1, 2 und 3 bestehen. Die Ziffern dürfen mehrfach in den gesuchten Zahlen vorkommen. a) Wie viele dreistellige
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