fileadmin/content/institute/mathematik/lorenzen/analysis/serie-2-2023-analysis.pdf
wir mit 1, also e = 1. iii) Die zu a inversen Elemente a′ in (R,+) bezeichnen wir mit (−a), also a′ = (−a). iv) Die zu a inversen Elemente a′ in (R\{0}, ·) bezeichnen wir mit a−1, also a′ = a−1. Abgabe [...] := a+ (−b) (Das Minus als Rechenzeichen ist erschaffen, juhu!) iii) Für b 6= 0 gilt a b := a · b−1 = a · 1 b (Ein Bruch ist erschaffen, oh je! Erinnern Sie sich an die heutige Vorlesung?) iv) a2 := a · a [...] Aufgaben, wobei Begründungen jeweils zu dokumentieren sind, z.B. in der Form . . . = wegen(G1)in(R,+) . . . Aufgabe 1 Man beweise: (a) Die neutralen Elemente in (R,+) und (R\{0}, ·) sind eindeutig bestimmt
-
Dateityp
- application/pdf
-
Verlinkt bei
-
fileadmin/content/institute/mathematik/lorenzen/geometrie/serie-13-geometrie-1.pdf
ist sie eine Achse. Somit haben pa′ und pa eine gemeinsame Achse und daher gilt: 1. l ‖ l′ 2. h ist Hauptachse von pa Aus 1. folgt sofort 3. pa und pa′ haben dieselben Achsen. Aus 3. und Folgerung 6 folgt [...] wichtigsten Sätze rund um das Thema Parabeln, einige werden wir erst am Montag diskutieren. Definition .1. Sei l eine Gerade, Z ein Punkt mit Z 6∈ l und p := {X| XZ ≡ XXl}. Dann heißt (Z, l, p) eine Pa- rabel [...] Geometrie und ihre Didaktik Prof. Dr. H. Lorenzen Sei eine feste Parabel (Z, l, p) gegeben. Aufgabe 1 Man beweise Satz .2 und a) und b) von Satz .3, also a) Alle Achsen und Tangenten schneiden p in genau
-
Dateityp
- application/pdf
-
Verlinkt bei
-
fileadmin/content/institute/mathematik/lorenzen/analysis/serie-13-2023-analysis.pdf
wie gewohnt statt. Aufgabe 1 Man zeige, dass die Reihe ∞∑ k=1 1 2k konvergiert und bestimme ihren Grenzwert. Aufgabe 2 Man zeige, dass die Reihe ∞∑ k=1 1 (3k − 2) · (3k + 1) konvergiert und bestimme ihren [...] durch Induktion: Für alle natürlichen Zahlen n gilt: 2n > n. b) Man zeige, dass die Folge {an}n∈N = { 1 + 1 2n } n∈N konvergiert.
-
Dateityp
- application/pdf
-
Verlinkt bei
-
fileadmin/content/institute/mathematik/lorenzen/geometrie/serie-12-geometrie.pdf
Prof. Dr. H. Lorenzen Übung 12 Abgabe der Bearbeitungen am Freitag, den 08. Juni bis 12 Uhr Aufgabe 1 Die Kreise k und l mit den Mittelpunkten K bzw. L schneiden sich in den verschiedenen Punkten A und
-
Dateityp
- application/pdf
-
Verlinkt bei
-
fileadmin/content/institute/mathematik/lorenzen/analysis/serie-12-2023-analysis.pdf
Definition 0.1. Seien {an}n∈N und {bn}n∈N Folgen, dann gilt {an}n∈N + {bn}n∈N := {an + bn}n∈N = {a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, . . . }, und entsprechend {an}n∈N · {bn}n∈N := {an · bn}n∈N := {a1 · b1, a2 · b2 [...] b2, a3 · b3, . . . }. Aufgabe 1 Man beweise: Seien {an}n∈N und {bn}n∈N konvergente Folgen, d.h. es gibt Grenzwerte a, b ∈ R mit lim n→∞ {an} = a und lim n→∞ {bn} = b, dann gilt auch, dass die Summe der Folgen [...] Supremum der Menge M := { m m+ n ∣∣∣∣ m,n ∈ N } Beweise sind jeweils erforderlich. Hinweis. Es gilt N := {1, 2, 3, . . . }. Abgabe der Bearbeitungen am Freitag, den 09. Juni bis 12 Uhr
-
Dateityp
- application/pdf
-
Verlinkt bei
-
fileadmin/content/institute/mathematik/lorenzen/geometrie/serie-11-geometrie.pdf
H. Lorenzen Übung 11 Sei (P,G,≡,⊥) eine euklidische Ebene von Charakteristik 6= 3 gegeben. Aufgabe 1 Sei ABCD ein echtes Viereck und sei KLMN ein echtes Seitenmittenviereck von ABCD. Man zeige, dass dann [...] Mittelpunkt von CA. Man zeige: Die Seitenhalbieren- denlinie des Dreiecks ABM von A aus schneidet BC im 2:1-Teilungspunkt von CB. Aufgabe 3 In einem echten Dreieck ABC sei w eine Winkelhalbierende bei C. Dann [...] Strecke BC ist, dann schneiden sich die Geraden MX und AC in einem Punkt. c) Man zeige: Wenn X der 2:1 Teilungspunkt der Strecke BC ist, dann ist der Schnitt- punkt von MX und AC der Verdopplungs- punkt
-
Dateityp
- application/pdf
-
Verlinkt bei
-
fileadmin/content/institute/mathematik/lorenzen/analysis/serie-11-2023-analysis-9.pdf
frohe Pfingsten! Aufgabe 1 Gegeben sei die Folge {an}n∈N := {n · (n+ 3)− 4 n2 − 1 } n∈N . Man gebe ein n0 ∈ N so an, dass |an − 1| < ε für alle n > n0 ist, wenn a) ε = 1 10 b) ε = 1 100 c) ε > 0 ist. Aufgabe [...] Man beweise: a) Die Folge {an}n∈N := { n+ 1 3n− 1 } n∈N konvergiert gegen 1 3 . b) Die Folge {an}n∈N := { 2n2 4n2 + 1 } n∈N konvergiert. c) Die Folge {an}n∈N := { 1 + (−2)n } n∈N divergiert. Aufgabe 3 Man [...] {an}n∈N = { 2n+ 1 n+ 2 } n∈N konvergiert. Aufgabe Zur Erinnerung: Es gilt R = Q∪(R\Q) und in jedem reellen Intervall findet man sowohl rationale als auch irrationale Zahlen. Sei f : R→ {0, 1} mit x 7→ f(x)
-
Dateityp
- application/pdf
-
Verlinkt bei
-
fileadmin/content/institute/mathematik/lorenzen/geometrie/serie-10-geometrie.pdf
Dr. H. Lorenzen Übung 11 Sei (P,G,≡,⊥) eine euklidische Ebene. Aufgabe 1 Sei AB eine echte Strecke mit Mittelpunkt M . Die Kreise k1(M,B), k2(B,M) mögen sich in zwei verschiedenen Punkten X,Y schneiden. [...] Punkte. b) Man zeige: Wenn X der 2:1 Teilungspunkt von BM ist, dann ist Y der Mittelpunkt von BC. c) Sei X der Mittelpunkt der Strecke BM. i) Man zeige: Y ist der 2:1 Teilungspunkt von CB. ii) Man zeige: [...] gewählt, dass ABDC ein Parallelogramm ist und sei H der Schnittpunkt von AX mit BD. Dann ist Y der 2:1 Teilungspunkt von AH. A B C Y BC M X AX MB Übung 11 Abgabe der Bearbeitungen am Freitag, den 24. Mai
-
Dateityp
- application/pdf
-
Verlinkt bei
-
fileadmin/content/institute/mathematik/lorenzen/analysis/serie-10-2023-analysis.pdf
N ist:( w + 1 n )2 = w2 + 2 · w n + 1 n2 < w2 + 2 · w n + 1 n = w2 + 2w + 1 n Nach Archimedes finden Sie stets ein n0 ∈ N mit (Zähler und Nenner sind positiv! (warum?)) 1 n0 < 2− w2 2w + 1 Insgesamt finden [...] folgende Abschätzung( w − 1 n )2 > w2 − 2w n Aufgabe 3 Man beweise: a) Die Folge {an}n∈N := { n n+1}n∈N konvergiert gegen 1. b) Die Folge {an}n∈N := { 1 n2+1 }n∈N konvergiert gegen 0. 1 Aufgabe 4 Für welche [...] Übung 10 Abgabe der Bearbeitungen am Freitag, den 26. Mai bis 12 Uhr Aufgabe 1 Man zeige die Dichtheit von Q in R, d.h. Für alle reellen Zahlen a, b mit a < b gibt es eine ganze Zahl m und eine natürliche
-
Dateityp
- application/pdf
-
Verlinkt bei
-
fileadmin/content/institute/mathematik/lorenzen/geometrie/serie-1-geometrie.pdf
von Punkten, also (A1, A2, A3, . . . , An), kurz A1A2A3. . .An. Die Komponenten des n-Ecks nennen wir die Ecken des n-Ecks. Zwei aufeinanderfolgen- de Ecken (einschließlich An und A1) nennen wir benachbart [...] der ersten ihrer Art überhaupt. Aufgabe 1 Diskutieren Sie in Ihrer Übungsabgabegruppe ausführlich unsere Definition der Kongruenz von Strecken, also Definition 0.1 (Kongruenz). Sei P eine Menge. Eine Relation [...] ∈ N≥3. Unter einem n- Eck verstehen wir eine n-elementige Menge von Punkten, also {A1, A2, A3, . . . , An}, kurz A1A2A3. . .An. Die Elemente der Menge nennen wir die Ecken des n-Ecks. a) Beschreiben und
-
Dateityp
- application/pdf
-
Verlinkt bei
-